Penalaran Matematika

Penalaran Matematika terdiri dari pemahaman matematis, penalaran logis matematis, penalaran induktif dan penalaran deduktif

A. Pemahaman Matematis

Pembelajaran dengan pemahaman sering menjadi bahan kajian pada riset pendidikan matematika. Hampir semua teori belajar menjadikan pemahaman sebagai tujuan dari proses pembelajaran. Menurut Driver (Suzana, 2003) pemahaman adalah kemampuan untuk menjelaskan suatu situasi atau suatu tindakan. Dari pengertian ini terdapat 3 aspek pemahaman, yaitu kemampuan mengenal, menjelaskan, dan menarik kesimpulan.

            Bloom (Russeffendi, 1991) menyatakan “Ada 3 macam pemahaman:   pengubahan   (translation),   pemberian   arti  (interpretation),   dan pembuatan ekstrapolasi (extrapolation)”. Dalam matematika, misalnya mampu mengubah (translation) soal kata-kata ke dalam simbol dan sebaliknya, mampu mengartikan (interpretation) suatu kesamaan, mampu memperkirakan (ekstrapolasi) suatu kecenderungan dari gambar. Pemahaman translasi (kemampuan menterjemahkan) adalah kemampuan dalam memahami suatu gagasan yang dinyatakan dengan cara lain dari pernyataan asal dikenal sebelumnya. Pemahaman interpretasi (kemampuan menafsirkan) adalah kemampuan dalam memahami bahan atau ide yang direkam, diubah atau disusun dalam bentuk lain, misalnya dalam bentuk grafik, peta konsep, tabel, dan lain sebagainya. Sedangkan pemahaman ekstrapolasi (kemampuan meramalkan) adalah kemampuan untuk meramalkan kecenderungan yang ada menurut data tertentu dengan mengutarakan konsekuensi dan implikasi yang sejalan dengan kondisi yang digambarkan.

            Dalam pembelajaran matematika, pemahaman translasi berkaitan dengan kemampuan siswa dalam menterjemahkan kalimat dalam soal menjadi bentuk kalimat lain, misalnya dapat menyebutkan variabel-variabel yang diketahui dan variabel-variabel yang ditanyakan. Pemahaman interpretasi berkaitan dengan kemampuan siswa dalam menentukan konsep-konsep yang tepat digunakan dalam menyelesaikan soal. Pemahaman ekstrapolasi berkaitan dengan kemampuan menerapkan konsep dalam perhitungan matematis untuk menyelesaikan soal.

            Skemp (Sumarmo, 1987) membedakan dua jenis pemahaman konsep, yaitu pemahaman instrumental dan pemahaman relasional. Pemahaman instrumental sejumlah konsep diartikan sebagai pemahaman atas konsep yang saling terpisah dan hanya hafal rumus dalam perhitungan sederhana. Sebaliknya pada pemahaman relasional  termuat suatu skema atau struktur yang dapat digunakan pada penyelesaian masalah yang lebih luas.

           

B. Penalaran Logis Matematis

            Dalam kegiatan pembelajaran terjadi proses berfikir. Seseorang dikatakan berfikir matematis apabila orang tersebut melakukan kegiatan mental, yang dalam prosesnya selalu menggunakan abstraksi dan generalisasi (Hudoyo, 1988). Penalaran sebagai proses berpikir dilakukan dengan cara tertentu untuk menarik kesimpulan. Kesimpulan yang bersifat umum dapat ditarik dari kasus-kasus yang bersifat individual. Tetapi dapat pula sebaliknya, dari hal yang bersifat individual menjadi kasus yang bersifat umum (Suzana, 2003).

Ratnata (Setiawan, 2004) mengatakan penalaran logis adalah suatu proses yang memperlihatkan bahwa jika suatu pernyataan tertentu itu benar dan dapat diterima, maka pernyataan tersebut dapat dijadikan dasar bagi pernyataan-pernyataan lainnya. Berpikir logis adalah penggunaan seperangkat pernyataan (statement) untuk menyokong pertanyaan yang lain karena logic merupakan proses verbal sadar, berpikir logis merupakan masalah mengemukakan ide dalam urutan kata-kata sehingga konstruksinya kelihatan benar.

Menurut Sumarmo (2005) bahwa beberapa kegiatan matematika yang merupakan berfikir dan bernalar tingkat tinggi di antaranya: menemukan pola;  memahami struktur dan hubungan matematika; menggunakan data; merumuskan dan menyelesaikan masalah; bernalar analogis; mengestimasi; menyusun alasan rasional; menggeneralisasikan; mengkomunikasikan ide matematika dan memeriksa kebenaran jawaban.

            Beberapa indikator penalaran matematis (Sumarmo, 2005) dalam pembelajaran matematika antara lain, siswa dapat:

1.      Menarik kesimpulan logis.

2.      Memberikan penjelasan dengan model, fakta, sifat-sifat dan hubungan.

3.      Memperkirakan jawaban dan proses solusi.

4.      Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi, atau membuat analogi dan generalisasi.

5.      Menyusun dan menguji konjektur.

6.      Merumuskan lawan contoh (counter example).

7.      Mengikuti aturan inferensi dan memeriksa validitas argumen.

8.      Menyusun argumen yang valid.

9.      Menyusun pembuktian langsung, tak langsung dan menggunakan induksi matematika.

            Menurut NCTM (1989), standar penalaran yang harus dikuasai siswa sekolah menengah antara lain:

1.      Mengingat dan menggunakan penalaran deduktif dan induktif.

2.      Memahami dan menggunakan proses penalaran dengan perhatian tertentu untuk penalaran spasial (tilikan ruang) dan penalaran dengan proporsi dan grafik.

3.      Membuat dan mengevaluasi konjektur dan argumen matematis.

4.      Memvalidasi berpikir mereka sendiri.

5.      Menyadari kegunaan dan kekuatan penalaran sebagai bagian dari matematika

Secara garis besar penalaran dibagi ke dalam dua jenis, yaitu:

C. Penalaran Induktif

Penalaran induktif adalah suatu proses berpikir yang berupa penarikan kesimpulan umum (berlaku untuk semua/banyak) atas dasar pengetahuan tentang hal yang khusus (fakta). Artinya dari fakta-fakta diturunkan suatu kesimpulan. Penalaran induktif melibatkan keteraturan, misalnya kesamaan dari contoh-contoh yang berbeda atau kesamaan pola gambar.

Soekadijo (1999) mengatakan bahwa, penalaran induktif terdiri dari tiga jenis yaitu: generalisasi, analogi, dan sebab-akibat. Penalaran induktif yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah generalisasi. Generalisasi adalah pemaparan tentang hubungan beberapa konsep (pengertian) yang diterapkan dalam situasi yang lebih umum. Penalaran ini mencakup pengamatan contoh-contoh khusus dan menemukan pola atau aturan yang melandasinya.

Kesimpulan umum yang ditarik dari jenis generalisasi induktif dapat merupakan suatu aturan, namun dapat pula sebagai prediksi yang didasarkan pada aturan itu. Misalnya menentukan suku dari suatu barisan bilangan atau barisan gambar. Aturannya dapat dilihat dari jenis pola penyusunan barisan, yaitu pola berulang atau pola tumbuh.

D. Penalaran Deduktif

Penalaran deduktif adalah salah satu bentuk pemikiran yang biasanya digunakan untuk menentukan pernyataan-pernyataan yang terungkap atau bisa juga untuk menyatakan ide yang sama dengan bentuk sebaliknya. Ini adalah bentuk pemikiran yang kesimpulannya muncul secara signifikan setelah ada pernyataan-pernyataan. Pernyataan dalam pemikiran tersebut disebut premis-premis. Jika hubungan antara premis-premis menghasilkan kesimpulan (konklusi) maka hubungan tersebut dikatakan valid/sah. Validitas suatu kesimpulan berbentuk argumen dan bukan dari kebenaran premis-premis. Argumen deduksi disebut valid/sah, bila premis-premisnya benar maka kesimpulannya benar dan bila premisnya salah maka kesimpulannya salah.

Penalaran deduktif menjamin kesimpulan yang benar jika premis dari argumennya benar, dan argumennya valid (logis). Namun demikian, boleh jadi benar hanya dalam situasi tertentu. Adapun yang termasuk jenis penalaran deduktif, yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme.

KONEKSI MATEMATIKA

            Koneksi dengan kata lain dapat diartikan sebagai keterkaitan, dalam hal ini koneksi matematika dapat diartikan sebagai keterkaitan antara konsep-konsep matematika secara internal yaitu berhubungan dengan matematika itu sendiri ataupun keterkaitan secara eksternal, yaitu matematika dengan bidang lain, baik bidang studi lain maupun dengan kehidupan sehari-hari.

            Bruner (Ruseffendi, 1988:152) menyatakan,”dalam matematika setiap konsep berkaitan dengan konsep yang lain. Begitupula dengan yang lainnya, misalnya antara dalil dan dalil, antara teori dan teori, antara topik dengan topik, antara cabang matematika (aljabar dan geometri).” Oleh karena itu agar siswa lebih berhasil dalam belajar matematika, maka siswa harus lebih banyak diberikan kesempatan untuk melihat keterkaitan-keterkaitan itu.  Selanjutnya Suherman, dkk (200:65) menyatakan,

             Pembelajaran matematika mengikuti metoda spiral. Artinya dalam setiap   memperkenalkan suatu konsep atau bahan yang baru perlu memperhatikan konsep atau bahan yang telah dipelajari siswa sebelumnya. Bahan yang baru selalu dikaitkan dengan bahan yang telah dipelajari, dan sekaligus untuk mengingatkannya kembali.

Jadi koneksi memang perlu untuk dilakukan dalam pengembangan dan perbaikan proses pembelajaran matematika.

            Ada dua tipe umum koneksi matematik menurut NCTM (1989:146) yaitu modeling connections dan mathematical connections. Modeling connections merupakan hubungan antara situasi masalah yang muncul di dalam dunia nyata atau dalam disiplin ilmu lain dengan representasi matematiknya, sedangkan mathematical connections adalah hubungan antara dua representasi yang ekuivalen, dan antara proses penyelesaian dari masing-masing representasi.   

            Tujuan koneksi matematika, khususnya untuk siswa kelas lima sampai delapan yang dikemukan NCTM (1989:84) adalah sebagai berikut,

          Kurikulum matematika untuk kelas 5-8 hendaknya memuat investigasi tentang koneksi matematika sehingga siswa dapat memandang matematika sebagai suatu kesatuan yang utuh menyeluruh, mengeksplorasi masalah dan menggambarkan hasilnya menggunakan grafik, numerik, fisik, secara aljabar, dan matematik verbal atau representasi, menggunakan ide matematika untuk meningkatkan pemahamannya terhadap ide matematika lain, menerapkan pemikiran dan pemodelan matematik untuk memecahkan masalah yang muncul pada disiplin lain, seperti seni, musik, psikologi, sains, dan bisnis, menghargai peran matematika dalam budaya dan masyarakat kita.

Maksud dari standar ini adalah untuk membantu siswa memperluas cara pandang mereka, untuk melihat matematika sebagai suatu kesatuan yang menyeluruh, bukan hanya sebagai kumpulan topik-topik yang terpisah, dan untuk memperkenalkan hubungan dan kegunaan, baik di dalam maupun di luar kelas. Selanjutnya NCTM (2003) menambahkan, standar koneksi untuk tingkat satu sampai tujuh adalah penekanan pengajaran matematika pada kemampuan siswa dalam hal:

a)      Menghargai dan menggunakan koneksi di antaranya ide-ide matematika.

b)      Menghargai dan mengaplikasikan matematik di dalam konteks di luar matematik.

c)      Mengambarkan bagaimana ide-ide matematik saling berhubungan dan membangun di antara satu dengan yang lainnya untuk menghasilkan suatu susunan logis secara menyeluruh.

            Siswa hendaknya memiliki kesempatan untuk mengamati keterkaitan matematika dengan mata pelajaran lain dan kehidupan sehari-hari. Untuk memenuhinya, guru matematika harus melibatkan guru mata pelajaran lain untuk berpartisipasi aktif dalam mengeksplorasi ide-ide/konsep matematik melalui permasalahan yang muncul dalam pelajaran yang diberikan kepada siswa. Menyatukan matematika kedalam konteks yang memberikan makna praktis lambang-lambang dan proses-proses adalah sebuah tujuan utama dari keseluruhan standar. Hal ini memungkinkan siswa untuk memandang bagaimana sebuah konsep matematika dapat membantunya memahami yang lain, dan menggambarkan kegunaan matematika dalam pemecahan masalah, penggambaran dan pemodelan fenomena dunia nyata, dan mengkomunikasikan pemikiran kompleks serta informasi dalam sebuah cara yang cepat dan tepat.

            Representasi pemikiran yang berbeda dari suatu permasalahan yang dikemukakan, merupakan sudut pandang siswa yang sesuai dengan interpretasi siswa terhadap masalah dan penyelesaiannya. Bila siswa menjadi lebih memahami secara matematis, maka mereka akan lebih fleksibel untuk mendekati situasi dalam berbagai cara dan mampu mengenal cara pandang yang berbeda. Kemampuan koneksi matematik dan komunikasi matematik memiliki keterkaitan yang sangat erat, di mana dengan kemampuan komunikasi yang baik, tentunya akan sangat membantu siswa untuk meningkatkan kemampuan koneksi matematiknya, demikian pula sebaliknya. Oleh karenanya, berkaitan dengan penggunaan pendekatan pembelajaran matematika yang berdaya guna meningkatkan kemampuan koneksi matematik, maka salah satu pendekatan pembelajaran yang dipandang dan diyakini mampu mencapai tujuan tersebut adalah pendekatan pembelajaran kontekstual.

            Untuk mengevaluasi kemampuan koneksi matematik siswa, digunakan sebuah panduan penskoran yang disebut holistic scale dari North Carolina Department of Public Instruction tahun 1994 (Ratnaningsih, 2003) seperti tertera pada tabel dibawah ini.

Tabel 2.3 Pedoman Pemberian Skor Soal Koneksi Matematik

Respon Siswa terhadap Soal	Skor
Tidak ada jawaban/menjawab tidak sesuai dengan pertanyaaan/tidak ada yang benar.	0
Hanya sebagian aspek dari pertanyaan dijawab dengan benar.	1
Hampir semua aspek dari pertanyaan dijawab dengan benar.	2
Semua aspek pertanyaan dijawab dengan lengkap/jelas dan benar.	3

Kemampuan Representasi Matematis

Penekanan pembelajaran sekarang ini adalah bahwa guru sebagai fasilitator di dalam kelas. Guru tidak lagi menjadi pusat informasi bagi siswa. Guru memberikan kebebasan kepada siswa untuk berdiskusi. Siswa bebas memberikan ide-ide dan menyelesaikan masalah dengan caranya sendiri dengan tidak mengabaikan konsep dari permasalahan tersebut. Hal ini akan mengembangkan kemampuan berpikir matematik siswa. Kemampuan yang dapat dialihgunakan tidak hanya pada kemampuan praktis atau kemampuan menerapkan matematis, tetapi juga kemampuan representasi secara matematik dalam menghadapi masalah.

Dalam perkembangan kognitif siswa diperlukan kemampuan representasi, kemampuan representasi tersebut harus bertahap Bruner (Panasuk, 2011:24) menyebutkan three different systems of representation used to describe the process of cognitive development: enactive, iconic, and symbolic. Oleh karena itu untuk membantu perkembangan kemampuan representasi siswa ke tahap yang tinggi maka pengajar hendaknya menunjukkan ojek konkretnya sehingga membantu siswa untuk segera mengubahnya ke dalam bentuk simbol matematika, dengan demikian akan sejalan dengan perkembangan kognitif siswa.

Menurut Yuniawatika (2011:104) kemampuan representasi matematis adalah salah satu keterampilan proses yang berkaitan dengan kemampuan siswa menyampaikan laporan, gagasan, dan ide. Kemudian menurut Cai, Lane & Jacabcsin menyatakan bahwa representasi matematis merupakan cara yang digunakan seseorang untuk mengkomuni­kasikan jawaban atau gagasan matematis yang bersangkutan (Yazid, 2012:33).  Tidak jauh berbeda dengan kedua pendapat diatas Sajadi (2013:4) menyatakan bahwa a representation is defined as any configuration of characters, images, concrete objects etc. that can symbolize or "represent" something else. Dengan kata lain representasi adalah suatu konfigurasi bentuk atau susunan) yang dapat menggambarkan, mewakili, atau melambangkan sesuatu dalam suatu  cara. Contohnya, kata dapat menggambarkan suatu objek kehidupan nyata atau suatu angka dapat mewakili suatu posisi dalam garis bilangan. Dalam hal ini, hubungan representasi-representasi dapat dipandang sebagai hubungan dua arah (bidrirectional). Misalnya grafik dalam bidang cartesius dapat digunakan sebagai representasi persamaan (ekspresi matematis) dengan cara  menggambarkan himpunan penyelesaiannya atau persamaan merupakan representasi grafik dengan cara membuat pola hubungan yang memenuhi semua koordinat titiknya.

NCTM (2000:67) menyatakan bahwa The term representation refers both to process and to product in other words, to the act of capturing a mathematical concept or relationship in some form and to the form itself. Hal ini berarti representasi merupakan ungkapan-ungkapan dari ide matematis yang ditampilkan siswa sebagai model atau bentuk pengganti dari suatu situasi masalah yang digunakan untuk menemukan solusi dari suatu masalah yang sedang dihadapinya sebagai hasil dari interpretasi pikirannya. Selanjutnya dipertegas oleh Hwang (2007:192) yang menyatakan bahwa representation means the process of modeling concrete things in the real world into abstract concepts or symbols, pernyataan ini menunjukkan bahwa representasi merupakan suatu model atau bentuk yang digunakan untuk mewakili suatu situasi atau masalah yang digambarkan kedalam bentuk simbol, gambar, grafik dan lain sebagainya untuk mempermudah pencarian solusi. Sehingga representasi akan memudahkan siswa untuk memecahkan masalah sebagaimana yang dinyatakan oleh NCTM (2000:138) Representations help students recognize the common mathematical nature of different situations. Hal ini dikarenakan representasi membuat ide matematika menjadi konkret, penyataan ini didukung oleh NCTM (2000:137) yang menyatakan bahwa Representations make mathematical ideas more concrete and available for reflection.

Karena representasi berkaitan dengan proses mentranslate masalah atau objek menjadi suatu simbol matematika atau sebaliknya berarti dalam prosesnya berkaitan objek dan simbol. Dalam proses representasi menurut Seeger (Panasuk, 2011:24)  menyatakan bahwa process of representation or representing involves identification, selection, and presenting a concept through a device that is structurally similar and more easily understood. Dari ketiga tahap (identifikasi, pemilihan dan penyajian) tidak kesemuanya dapat ketahui hasilnya sebelum sampai ke proses penyajian, tetapi proses penyajian harus melewati proses identifikasi dan pemilihan. Proses identifikasi dan proses pemilihan ini berlangsung dalam pikiran siswa yang sering dikatakan representasi internal selanjutnya berakhir pada proses penyajian ini dikatakan sebagai representasi eksternal siswa. Representasi sebenarnya bukan hanya menunjuk kepada hasil atau produk yang diwujudkan dalam konfigurasi atau konstruksi baru dan berbeda tetapi juga proses berpikir yang dilakukan untuk menangkap dan memahami konsep, operasi, dan hubungan-hubungan matematik dari suatu konfigurasi. Artinya, proses representasi mematis berlangsung dalam dua tahap yaitu secara internal dan eksternal. Hal ini didukung oleh  NCTM (2000:67)

the term applies to processes and products that are observable externally as well as to those that occur “internally,” in the minds of people doing mathematics. All these meanings of representation are important to consider in school mathematics. Some forms of representation—such as diagrams, graphical displays, and symbolic expressions—have long been part of school mathematics. Unfortunately, these representations and others have often been taught and learned as if they were ends in themselves.

Dilanjutkan oleh Hwang (2007:192) The meaning of representation can be different in different contexts. There are external representations (real world) and internal representations (mind). Berdasarkan beberapa pendapat di atas maka representasi dapat dibagi menjadi 2 yaitu representasi internal dan representasi eksternal, kedua bagian representasi tersebut saling berkaitan.

Representasi internal dari seseorang sulit untuk diamati secara langsung karena merupakan aktivitas mental dari seseorang di dalam otaknya. Tetapi representasi internal dari seseorang itu dapat disimpulkan atau diduga berdasarkan representasi  eksternalnya dalam berbagai kondisi, misalnya melalui pengungkapannya melalui kata-kata (lisan), melalui tulisan berupa simbol, gambar, grafik, tabel, ataupun melalui alat peraga. Dengan kata lain, terjadi hubungan timbal balik antara representasi internal dan eksternal dari seseorang di saat berhadapan dengan sesuatu yang dihadapinya. Pepe menggambarkan hubungan representasi internal dan representasi eksternal seperti pada gambar di bawah ini.

 

Hubungan Representasi Internal dan Eksternal

Sumber: Pepe (2001:119)

Representasi internal biasanya berhubungan dengan mental dan pengetahuan dan terjadi dalam pikiran para siswa. Representasi ini sebagai bentuk dari abstraksi internal ide-ide matematika sehingga siswa mampu mengenali, menciptakan, menginterprestasikan dan menerjemahkan model matematika yang diproses di pikiran para siswa. Sedangkan representasi eksternal berhubungan dengan pengetahuan tentang struktur lingkungan, simbol fisik, benda atau dimensi. Sebagaimana diungkapkan Goldin dan Shteingold (Panasuk, 2011:34) menyatakan bahwa an external representation “is typically a sign or a configuration of signs, characters, or objects” and that external representation can symbolize “something other than itself”.

Menurut Behr (Hwang, 2007:192) representasi dalam pembelajaran matematika terdiri dari 5 bagian diantara; (1) real world object representation (representasi benda nyata), (2) concrete representation (representasi konkret), (3) arithmetic symbol representation (representasi simbol aritmatika), (4) spoken-language representation (representasi bahasa) dan (5) picture or graphic representation (representasi gambar atau grafik). Tetapi secara keseluruhan meurut Hwang (2007,192-193) representasi dalam memecahkan masalah matematika dibagi menjadi tiga bagian yaitu; (1) Language representation skill – The skill of translating observed properties and relationships in mathematical problems into verbal or vocal representations; (2) Picture or graphic representation skill – The skill of translating mathematical problems into picture or graphic representations; (3) Arithmetic symbol representation skill – The skill of translating mathematical problems into arithmetic formula representations.

Standar representasi matematika yang dicantum NCTM (2000:67) Instructional programs from prekindergarten through grade 12 should enable all students to—

·         create and use representations to organize, record, and communicate mathematical ideas;

·         select, apply, and translate among mathematical representations to solve problems;

·         use representations to model and interpret physical, social, and mathematical phenomena.

Dengan demikian, kemampuan representasi matematis diperlukan siswa untuk menemukan dan membuat suatu alat atau cara berpikir dalam mengkomunikasikan gagasan matematis dari yang sifatnya abstrak menuju konkret, sehingga lebih mudah untuk dipahami. Kemudian bentuk-bentuk operasional matematika dicantumkan pada tabel di bawah ini.

  

 Tabel .Bentuk-Bentuk Operasional Representasi matematika

Aspek representasi	Bentuk-bentuk operasional
Representasi Visual (Drawing); Diagram, grafik, atau tabel  dan Gambar	-          Menyajikan kembali data atau informasi dari suatu representasi ke representasi diagram, grafik, atau tabel
	-          Menggunakan representasi visual untuk menyelesaikan masalah
	-          Membuat pola-pola geometri
	-          Membuat gambar bangun geometri untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaiannya.
Kata-kata atau teks tertulis (written texts)	-          Menuliskan interprestasi dari suatu representasi.
	-          Menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah matematika dengan kata-kata.
	-          Menyusun cerita yang sesuai dengan suatu representasi yang disajikan.
	-          Menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis.
	-          Dapat menyatakan ide matematika dengan menggunakan kata-kata teks tertulis.
Persamaan atau ekspresi matematik (mathematical expressions)	-          Membuat persamaan atau model matematika dari representasi lain yang diberikan.
	-          Membuat konjektur dari suatu pola bilangan
	-          Penyelesaian masalah  dengan melibatkan ekspresi matematika

Sumber : Yazid (2012:33)