Penalaran Matematika

Penalaran Matematika terdiri dari pemahaman matematis, penalaran logis matematis, penalaran induktif dan penalaran deduktif

A. Pemahaman Matematis

Pembelajaran dengan pemahaman sering menjadi bahan kajian pada riset pendidikan matematika. Hampir semua teori belajar menjadikan pemahaman sebagai tujuan dari proses pembelajaran. Menurut Driver (Suzana, 2003) pemahaman adalah kemampuan untuk menjelaskan suatu situasi atau suatu tindakan. Dari pengertian ini terdapat 3 aspek pemahaman, yaitu kemampuan mengenal, menjelaskan, dan menarik kesimpulan.

            Bloom (Russeffendi, 1991) menyatakan “Ada 3 macam pemahaman:   pengubahan   (translation),   pemberian   arti  (interpretation),   dan pembuatan ekstrapolasi (extrapolation)”. Dalam matematika, misalnya mampu mengubah (translation) soal kata-kata ke dalam simbol dan sebaliknya, mampu mengartikan (interpretation) suatu kesamaan, mampu memperkirakan (ekstrapolasi) suatu kecenderungan dari gambar. Pemahaman translasi (kemampuan menterjemahkan) adalah kemampuan dalam memahami suatu gagasan yang dinyatakan dengan cara lain dari pernyataan asal dikenal sebelumnya. Pemahaman interpretasi (kemampuan menafsirkan) adalah kemampuan dalam memahami bahan atau ide yang direkam, diubah atau disusun dalam bentuk lain, misalnya dalam bentuk grafik, peta konsep, tabel, dan lain sebagainya. Sedangkan pemahaman ekstrapolasi (kemampuan meramalkan) adalah kemampuan untuk meramalkan kecenderungan yang ada menurut data tertentu dengan mengutarakan konsekuensi dan implikasi yang sejalan dengan kondisi yang digambarkan.

            Dalam pembelajaran matematika, pemahaman translasi berkaitan dengan kemampuan siswa dalam menterjemahkan kalimat dalam soal menjadi bentuk kalimat lain, misalnya dapat menyebutkan variabel-variabel yang diketahui dan variabel-variabel yang ditanyakan. Pemahaman interpretasi berkaitan dengan kemampuan siswa dalam menentukan konsep-konsep yang tepat digunakan dalam menyelesaikan soal. Pemahaman ekstrapolasi berkaitan dengan kemampuan menerapkan konsep dalam perhitungan matematis untuk menyelesaikan soal.

            Skemp (Sumarmo, 1987) membedakan dua jenis pemahaman konsep, yaitu pemahaman instrumental dan pemahaman relasional. Pemahaman instrumental sejumlah konsep diartikan sebagai pemahaman atas konsep yang saling terpisah dan hanya hafal rumus dalam perhitungan sederhana. Sebaliknya pada pemahaman relasional  termuat suatu skema atau struktur yang dapat digunakan pada penyelesaian masalah yang lebih luas.

           

B. Penalaran Logis Matematis

            Dalam kegiatan pembelajaran terjadi proses berfikir. Seseorang dikatakan berfikir matematis apabila orang tersebut melakukan kegiatan mental, yang dalam prosesnya selalu menggunakan abstraksi dan generalisasi (Hudoyo, 1988). Penalaran sebagai proses berpikir dilakukan dengan cara tertentu untuk menarik kesimpulan. Kesimpulan yang bersifat umum dapat ditarik dari kasus-kasus yang bersifat individual. Tetapi dapat pula sebaliknya, dari hal yang bersifat individual menjadi kasus yang bersifat umum (Suzana, 2003).

Ratnata (Setiawan, 2004) mengatakan penalaran logis adalah suatu proses yang memperlihatkan bahwa jika suatu pernyataan tertentu itu benar dan dapat diterima, maka pernyataan tersebut dapat dijadikan dasar bagi pernyataan-pernyataan lainnya. Berpikir logis adalah penggunaan seperangkat pernyataan (statement) untuk menyokong pertanyaan yang lain karena logic merupakan proses verbal sadar, berpikir logis merupakan masalah mengemukakan ide dalam urutan kata-kata sehingga konstruksinya kelihatan benar.

Menurut Sumarmo (2005) bahwa beberapa kegiatan matematika yang merupakan berfikir dan bernalar tingkat tinggi di antaranya: menemukan pola;  memahami struktur dan hubungan matematika; menggunakan data; merumuskan dan menyelesaikan masalah; bernalar analogis; mengestimasi; menyusun alasan rasional; menggeneralisasikan; mengkomunikasikan ide matematika dan memeriksa kebenaran jawaban.

            Beberapa indikator penalaran matematis (Sumarmo, 2005) dalam pembelajaran matematika antara lain, siswa dapat:

1.      Menarik kesimpulan logis.

2.      Memberikan penjelasan dengan model, fakta, sifat-sifat dan hubungan.

3.      Memperkirakan jawaban dan proses solusi.

4.      Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi, atau membuat analogi dan generalisasi.

5.      Menyusun dan menguji konjektur.

6.      Merumuskan lawan contoh (counter example).

7.      Mengikuti aturan inferensi dan memeriksa validitas argumen.

8.      Menyusun argumen yang valid.

9.      Menyusun pembuktian langsung, tak langsung dan menggunakan induksi matematika.

            Menurut NCTM (1989), standar penalaran yang harus dikuasai siswa sekolah menengah antara lain:

1.      Mengingat dan menggunakan penalaran deduktif dan induktif.

2.      Memahami dan menggunakan proses penalaran dengan perhatian tertentu untuk penalaran spasial (tilikan ruang) dan penalaran dengan proporsi dan grafik.

3.      Membuat dan mengevaluasi konjektur dan argumen matematis.

4.      Memvalidasi berpikir mereka sendiri.

5.      Menyadari kegunaan dan kekuatan penalaran sebagai bagian dari matematika

Secara garis besar penalaran dibagi ke dalam dua jenis, yaitu:

C. Penalaran Induktif

Penalaran induktif adalah suatu proses berpikir yang berupa penarikan kesimpulan umum (berlaku untuk semua/banyak) atas dasar pengetahuan tentang hal yang khusus (fakta). Artinya dari fakta-fakta diturunkan suatu kesimpulan. Penalaran induktif melibatkan keteraturan, misalnya kesamaan dari contoh-contoh yang berbeda atau kesamaan pola gambar.

Soekadijo (1999) mengatakan bahwa, penalaran induktif terdiri dari tiga jenis yaitu: generalisasi, analogi, dan sebab-akibat. Penalaran induktif yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah generalisasi. Generalisasi adalah pemaparan tentang hubungan beberapa konsep (pengertian) yang diterapkan dalam situasi yang lebih umum. Penalaran ini mencakup pengamatan contoh-contoh khusus dan menemukan pola atau aturan yang melandasinya.

Kesimpulan umum yang ditarik dari jenis generalisasi induktif dapat merupakan suatu aturan, namun dapat pula sebagai prediksi yang didasarkan pada aturan itu. Misalnya menentukan suku dari suatu barisan bilangan atau barisan gambar. Aturannya dapat dilihat dari jenis pola penyusunan barisan, yaitu pola berulang atau pola tumbuh.

D. Penalaran Deduktif

Penalaran deduktif adalah salah satu bentuk pemikiran yang biasanya digunakan untuk menentukan pernyataan-pernyataan yang terungkap atau bisa juga untuk menyatakan ide yang sama dengan bentuk sebaliknya. Ini adalah bentuk pemikiran yang kesimpulannya muncul secara signifikan setelah ada pernyataan-pernyataan. Pernyataan dalam pemikiran tersebut disebut premis-premis. Jika hubungan antara premis-premis menghasilkan kesimpulan (konklusi) maka hubungan tersebut dikatakan valid/sah. Validitas suatu kesimpulan berbentuk argumen dan bukan dari kebenaran premis-premis. Argumen deduksi disebut valid/sah, bila premis-premisnya benar maka kesimpulannya benar dan bila premisnya salah maka kesimpulannya salah.

Penalaran deduktif menjamin kesimpulan yang benar jika premis dari argumennya benar, dan argumennya valid (logis). Namun demikian, boleh jadi benar hanya dalam situasi tertentu. Adapun yang termasuk jenis penalaran deduktif, yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme.